Quelle Est La Théorie Des Nombres?

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Quelle est la théorie des nombres? Découvrez comment les mathématiciens utilisent la théorie des nombres pour définir les relations qui sous-tendent la nature elle-même.

Quiconque est tombé amoureux vous dira que ce sont les petites choses qui importent à propos de l'autre personne. Les stupides plaisanteries partagées à la fin de la journée. Les particularités du rituel du café matinal de l'autre personne. La façon dont il ou elle laisse les vieux livres de poche s'empiler sur la table de chevet. Ces détails interdépendants viennent nous définir. Ils retracent les courants sous-jacents de notre personnalité et, à l’œil attentif et aimant, ils éclairent la vraie beauté.

Aux yeux de certains, il n'y a pas de plus belle beauté que celle trouvée en mathématiques. Ils regardent le monde des chiffres et, tout comme vous ne définiriez jamais votre être aimé par sa profession ou sa couleur de cheveux, le mathématicien voit au-delà de la simple fonction des nombres. Les groupes de 6, 28 et 496 deviennent plus sublimes que de simples supports d’information. Indépendamment de leur usage, les nombres deviennent des entités fascinantes et leurs relations mathématiques expriment la complexité d'un vaste système sous-jacent à la nature elle-même.

L’étude de ces relations parfois subtiles et de grande portée est la théorie du nombre, parfois appelé arithmétique supérieure. Les théoriciens des nombres examinent les propriétés de entiers, les nombres naturels que vous connaissez sont -1, -2, 0, 1, 2, etc. C'est à la fois théorique et expérimental, car les mathématiciens cherchent à découvrir des interactions mathématiques fascinantes et même inattendues.

Quel genre de relations? En fait, nous classons les entiers en différents types de nombres en fonction de leurs relations. Il y a bien sûr nombres impairs (1,3, 5…), qui ne peuvent pas être divisés également, et nombres pairs (2, 4, 6…), qui peut. Il y a nombres carrés, produit en multipliant un autre nombre par lui-même. Par exemple, 2 x 2 = 4 et 3 x 3 = 9, donc 4 et 9 sont tous deux des nombres carrés. Donc, 1 (1 x 1 = 1) et 9 801 (99 x 99 = 9 801). Nous exprimons également ces quatre exemples en 22, 32, 12 et 992.

Ajoutons maintenant un autre niveau d’intrigue à cet exemple. Dans certains cas, nous pouvons additionner des nombres carrés pour produire d’autres carrés dans ce que l’on appelle un Triple de Pythagore, comme ils correspondent à la théorème de Pythagore (une2 + b2 = c2). Un exemple de ceci est 32 + 42 = 52ou 3, 4, 5.

La théorie des nombres implique d'analyser de telles relations mathématiques et de poser de nouvelles questions à leur sujet. Mais qu'est-ce qu'une théorie des nombres? Qu'est-ce qui entre dans la formulation d'une preuve et pourquoi certaines questions mathématiques restent sans réponses pendant des siècles?

Questions en théorie des nombres

Ainsi, le monde des mathématiques offre de nombreux types de nombres, chacun avec ses propriétés propres. Les mathématiciens formulent des théories sur les relations entre les nombres et les groupes de nombres. Ils soutiennent leurs théories avec axiomes (déclarations établies précédemment présumées vraies) et théorèmes (déclarations basées sur d’autres théorèmes ou axiomes).

La première étape de la construction d’une nouvelle théorie mathématique brillante consiste toutefois à poser une question théorique sur les relations numériques. Par exemple, la somme de deux cubes peut-elle être un cube? Rappelez-vous les triples de Pythagore de la page précédente? Ces trios de trois nombres, tels que (3, 4, 5), résolvent l’équation a2 + b2 = c2. Mais qu'en est-il un3 + b3 = c3? Le mathématicien Pierre de Fermat a posé la même question à propos des cubes et, en 1637, il a prétendu avoir mis au point une méthode mathématique. preuve que, ligne après ligne, une logique minutieuse montrait hors de tout doute que non, la somme de deux cubes ne pouvait pas être un cube. Nous appelons cela Le dernier théorème de Fermat. Malheureusement, au lieu de fournir la preuve complète dans ses notes, Fermat a simplement écrit: "J'ai une démonstration vraiment merveilleuse de cette proposition que cette marge est trop étroite pour contenir" .

Plus de trois siècles et demi ont suivi, au cours desquels des mathématiciens du monde entier ont tenté en vain de redécouvrir la preuve de Fermat. Qu'est-ce qui se passait dans cette quête? Rien, sauf la fierté académique et l'amour des mathématiques pures et abstraites. Puis, en 1993, le mathématicien anglais Andrew Wiles a réussi à prouver le théorème vieux de 356 ans, à l’aide de mathématiques informatisées inconnues à l’époque de Fermat. Les experts continuent de se demander si Fermat avait réellement mis au point une preuve aussi phénoménale à l’ère de sa pré-informatique, ou s’il s’était trompé.

Les autres questions de la théorie des nombres portaient sur divers modèles perçus ou théoriques de nombres ou de groupes de nombres. Tout commence par cet aspect crucial de la pensée intelligente: la reconnaissance des formes. Joseph H. Silverman, professeur de mathématiques à l'Université Brown, expose cinq étapes fondamentales de la théorie des nombres:

  • Accumuler des données mathématiques ou abstraites.
  • Examinez les données et recherchez des modèles ou des relations.
  • Formuler un conjecture (généralement sous la forme d’une équation) pour expliquer ces modèles ou ces relations.
  • Testez la conjecture avec des données supplémentaires.
  • Imaginez une preuve montrant que la conjecture est correcte. La preuve doit commencer par des faits connus et se terminer par le résultat souhaité.

Le dernier théorème de Fermat n'était donc une conjecture que pendant 356 ans et n'est devenu un véritable théorème qu'en 1993. D'autres, comme Preuve de l'infini-prime d'Euclide (qui prouve que les nombres premiers sont illimités), sont restés un solide modèle de raisonnement mathématique depuis. 300 av. Encore d'autres hypothèses de la théorie des nombres, à la fois anciennes et nouvelles, restent non vérifiées.

Les nombres sont aussi infinis que la compréhension humaine est finie, aussi la théorie des nombres et ses divers sous-champs continueront-ils de captiver l'esprit des amateurs de mathématiques pendant des siècles. Les vieux problèmes peuvent tomber, mais de nouvelles conjectures plus complexes vont se présenter.

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Applications émergentes

Pour la plupart, la théorie des nombres reste un domaine purement abstrait de l’étude mathématique, mais il existe des applications dans le domaine de la cryptographie, où la théorie des nombres peut créer des codes simples mais hautement sécurisés. Le traitement de l’information numérique, l’informatique, l’acoustique et la cristallographie sont d’autres domaines d’application.

Sources

  • LeVeque, William J. "Théorie élémentaire des nombres". Dover Publications, Inc. 1990.
  • Silverman, Joseph H. "Une introduction amicale à la théorie des nombres." 1997. Prentice Hall.
  • "Résoudre Fermat: Andrew Wiles." NOVA en ligne. Novembre 2000. (9 juin 2011) //pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html


Supplément Vidéo: Les nombres premiers — Science étonnante #34.




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